已知函数f=ax+x2-xlna，．求证：函数f在上单调递增；函数y=|f-t|-1有三个零点，求t的值；（

题文

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
（I）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）对∀x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：求导函数，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令f'（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
x（-∞，0）0（0，+∞）f'（x）-0+f（x）递减极小值1递增因为函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）
（Ⅲ）问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，
f(-1)=1a+1+lna，f（1）=a+1-lna，f(1)-f(-1)=a-1a-2lna，
记g(x)=x-1x-2lnx，（x≥1），则g′(x)=1+1x2-2x=(1x-1)2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g(x)=x-1x-2lnx是增函数，
∴当a＞1时，g(a)=a-1a-2lna＞g(1)=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，
故对∀x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
当x≥1时，(x-lnx)′=x-1x≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）单调递增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．

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解析

x（-∞，0）0（0，+∞）f'（x）-0+f（x）递减极小值1递增

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+x2-xlna，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点