已知函数f=16ln+x2-10x，直线y=b与函数y=f的图象有3个交点，求b的取值范围______．

题文

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x）=f（x）=16ln（1+x）+x²-10x知，f（x）定义域为（-1，+∞），
f′ (x)=2(x2-4x+3)x+1=2(x-1)(x-3)x+1．
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）；
f（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
且当x=1或x=3时，f′（x）=0，所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21．
又因为f（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），
所以在f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．

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解析

2(x2-4x+3)x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=16ln（1+x）+x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点