已知f=ax-3a+1，g=1x-2．若a=-1，解不等式f＞12g；判断函数y=f的图象与y=g的图

题文

已知f（x）=ax-3a+1，g（x）=1x-2（x＞2）．
（1）若a=-1，解不等式f（x）＞12g（x）；
（2）判断函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=-1时，f（x）=-x+4，
由f（x）＞12g（x）（x＞2）
得-x+4＞12×1x-2，
∴2x²-12x+17＜0（*）
∴3-22＜x＜3+22，
∵3-22＞2，∴解集为：{x|3-22＜x＜3+22}，
（2）由f（x）=g（x），得ax-3a+1=1x-2，∴（ax-3a+1）（x-2）=1
即ax²+（1-5a）x+6a-3=0，（*）①
a=0时，x=3，两个图象公共点的个数是1，公共点（3，1）
②a≠0时，方程*即[ax-（2a-1）]（x-3）=0
∴（x-3）（x-2a-1a）=0，
x₁=2，x₂=2a-1a，
（i）若2a-1a=3，即a=-1时，方程*有两个相等的实根3，
∴函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
（ii）若2a-1a≠3，即a≠-1时，
∵x₂-2=2a-1a-2=-1a，
当a＞0时，x₂=2a-1a＜2，
当a＜0时，x₂=2a-1a＞2，
综上所述，a≥0或a=-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
a＜0或a≠-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax-3a+1，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点