已知函数f(x)=13ax3+ax2+4，g=22，h=f+g．当a=1时，求f与g的公共单调区间；若

题文

已知函数f(x)=13ax3+ax2+4，g（x）=2（x+2）²，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间；
（Ⅱ）若函数h（x）有极值，求实数a的何值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，讨论函数h（x）的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=x²+2x=x（x+2）…（1分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f'（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），递减区间是（-2，0），…（3分）
又g（x）的对称轴为x=-2且开口向上，
∴g（x）的单调递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1时，f（x）与g（x）的公共单调递增区间是（0，+∞），无公共递减区间…（5分）
（Ⅱ）h(x)=f(x)+g(x)=13ax3+(a+2)x2+8x+12
∴h'（x）=ax²+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①当a=0时，h'（x）=2x²+8x+12=2（x+2）²+4在（-2，+∞）递增，
在（-∞，-2）递减，则h（x）有极小值，符合题设…（7分）
②当a≠0时，令h'（x）=0得，x₁=-2，x2=-4a，
若函数h（x）有极值，h'（x）=0两个相异实根，∴-2≠-4a，得 a≠2
综上（1）（2）得，若函数h（x）有极值，实数a的何值范围是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h'（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或x=-4a，
则-4a＞-2
将x，h'（x），h（x）的变化情况列表如下：
x（-∞，-2）-2（-2，-4a）-4a（-4a，+∞）h'（x）-0+0-h （ x ）↘极小值↗极大值↘∴h(x)极小值=h(-2)=43a+4，h（x）_极大值＞h（0）=12＞0…（11分）
（另设1a=t，h(x)极大值=h(-4t)=323(t-34)2+6＞0，亦可）
当43a+4＞0即-3＜a＜0时，在x充分大时，h（x）＜0，∴h（x）零点个数为1；
当43a+4=0即a=-3时，h（x）零点个数为2；
当43a+4＜0即a＜-3时，h（x）零点个数为3；               …（13分）
综上所述，当-3＜a＜0时，h（x）零点个数为1；当a=-3时，h（x）零点个数为2；
当a＜-3时，h（x）零点个数为3．…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13ax3+ax2+4.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点