已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为，记函数f=ax2+x-c．求证：函数y=f必有两个不同的零点．若函数y=f（

题文

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．
（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．
（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围．
（3）是否存在这样实数的a、b、c及t，使得函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]．若存在，求出t的值及函数y=f（x）的解析式；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，∵a+b+c=0，且-b2a＞1，∴a＜0且ca＞1，∴ac＞0．
对于函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．有△=（a-b）²+4ac＞0，∴f（x）必有2个不同零点．
（2）|m-n|2=(m+n)2-4mn=(b-a)2+4aca2=(-2a-c)2+4aca2=(ca)2+8•ca+4
由不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，ax²+bx+c=0的两个解分别为1和t（t＞1），
由韦达定理有ca=t，∴|m-n|²=t²+8t+4=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），∴|m-n|²＞5²-12=13，∴|m-n| ＞ 13，
即|m-n|的取值范围为（13，+∞）．
（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，∴f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-ba)x-ca]=a[x2+(1+a+ca)x-ca]
=a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的对称轴为x=-1-t2＜-32，∴f（x）在[-2，1]的最小值为f（1）=3a=-6，则a=-2．
要使函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f（x）_max=12即可．
①若-1-t2≤-2   ，  即t≥2时，f（x）_max=f（-2）=123，则有6t=12，∴t=24．
此时，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x²-8x+4．
②若-1-t2＞-2   ，  ∴1＜t＜2，此时，f(x)max=f(-1-t2)=t2+8t+42=12，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去 ）．
综上所述：当a=-2，b=6，c=-4，t=2时，函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，此时函数的表达式为f（x）=-2x²-8x+4．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点