题文
已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，-cosx），设函数f（x）=a•（a+b）．（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，π2]，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）=a•（a+b）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=2sin(2x+π4)+12．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=2sin(2x+π4)+12，由 2kπ-π2≤2x+π4≤π2+2kπ k∈Z，即 kπ-3π8≤x≤π8+kπ k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-38π+kπ，π8+kπ] (k∈Z)．
（3）y=2sin(2x+π4)+12，x∈[0，π2]，所以2x+π4∈[π4，3π4]，
y=2sin(2x+π4)+12∈[32，12+2]，
函数g（x）=f（x）-k=2sin(2x+π4)+12-k，x∈[0，π2]，其中k∈R，
当k＜32或k＞12+2时，零点为0个；
当k∈[32，12+2)时函数有两个零点，
当k=12+2时，函数有一个零点；
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解析
a考点
据考高分专家说，试题“已知向量a=（sinx，cosx），b=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
