已知函数f=ex+x2-x．求证：函数f在上单调递增；若函数y=|f-t|-1

题文

已知函数f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=12+13+14+…+1n，求证：e+e+3e+…+ne＞n+1n+λ(n)（n≥2，n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三个零点，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；
由f′（x）=e^x+2x-1=0得：x=0
当x＜0时，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以，只需[f（x）]_min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
f（x）＞f（0）∴e^x+x²-x＞1，∴e^x＞1-x²+x
当n≥2，n∈N^*时，e1n＞1-1n2+1n＞1-1n(n-1)+1n=1-(1n-1-1n)+1n，又e＞2
叠加得：e+e+3e+…+ne＞n+1n+λ(n)，
∴当n≥2，n∈N^*时，e+e+3e+…+ne＞n+1n+λ(n)成立．…（15分）

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解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点