已知函数f=e-x，a∈R．讨论函数f的单调性；若关于实数x的方程f=1在[12，2]上有两个不等实根，求a的取值范

题文

已知函数f（x）=e^-x（2x-a），a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若关于实数x的方程f（x）=1在[12，2]上有两个不等实根，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） f'（x）=-e^-x（2x-a）+2e^-x=-e^-x（2x-a-2）…（3分）
当x＜a+22时，f'（x）＞0，当x＞a+22时，f'（x）＜0，…（5分）
∴f（x）在(-∞，a+22)上是增函数，在(a+22，+∞)上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=e^x，
∴a=2x-e^x…（7分）
记g(x)=2x-ex，x∈[12，2]，
则g′(x)=2-ex，x∈[12，2]
当12＜x＜ln2时，g'（x）＞0；当ln2＜x＜2时，g'（x）＜0…（9分）
而g(12)=1-e＞g（2）=4-e²，g（ln2）=2ln2-2，…（12分）
∴1-e≤a＜2ln2-2…（13分）

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解析

a+22

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=e-x（2x-a），a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点