已知向量m=(sinx，-1)，向量n=(3cosx，12)，函数f(x)=(m+n)•m．求f的最小正周期T；若方程f-t=0在x∈[

题文

已知向量m=(sinx，-1)，向量n=(3cosx，12)，函数f(x)=(m+n)•m．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[π4，π2]上有解，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵m=(sinx，-1)，n=(3cosx，12)，
∴m+n=（sinx+3cosx，-12），可得
f(x)=(m+n)•m=sinx（sinx+3cosx）+12=sin²x+3sinxcosx+12
∵sin²x=12（1-cos2x），sinxcosx=12sin2x
∴f（x）=12（1-cos2x）+32sin2x+12=sin（2x-π6）+1
因此，f（x）的最小正周期T=2π2=π；
（II）∵x∈[π4，π2]，可得2x-π6∈[π3，5π6]
∴sin（2x-π6）∈[12，1]，得f（x）=sin（2x-π6）+1的值域为[32，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[π4，π2]上有解，
∴f（x）=t在x∈[π4，π2]上有解，可得实数t的取值范围为[32，2]．

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解析

m

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(sinx，-1)，向量n=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点