已知函数f=13x3-32ax2-x+b，若函数f在x=-1处取得极值-43，求实数a，b的值；若a=1，且函数f在[-

题文

已知函数f（x）=13x³-32ax²-（a-3）x+b，
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-43，求实数a，b的值；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），…．（2分）
函数f（x）在x=-1处取得极值-43，
则f′(-1)=1+3a-a+3=0f(-1)=-13-32a+a-3+b=-43…．（6分）
解得，a=-2b=1．
经检验，当a=-2，b=1时函数f（x）在x=-1处取得极值…（8分）
（2）若a=1，f（x）=13x³-32x²+2x+b，f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）=0，得到x=1或x=2，
x-1 （-1，1）  1  （1，2）   2f′（x）+-f（x）b-236↗极大值
b+56↘b+23…..（11分）
由于函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点
f(-1)≤0 f(1)＞0 f(2)≤0即b-236≤0 b+56＞0 b+23≤0解得-56＜b≤-23…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=13x3-32ax2-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点