如果关于实数x的方程ax2+1x=3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为______．

题文

如果关于实数x的方程ax2+1x=3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

将方程ax2+1x=3x改写为1x=3x-ax2，令y1=1x，y₂=3x-ax²．
“关于实数x的方程ax2+1x=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=1x与y₂=3x-ax²的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线y1=1x在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点(3a，0)，研究知，当a＜2时，双曲线y1=1x与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y₂=3x-ax²=3x为直线，此时，双曲线y1=1x与直线y₂=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点(3a，0)，此时，双曲线y1=1x与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故答案为：（-∞，0]∪{2}．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“如果关于实数x的方程ax2+1x=3x的.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点