已知函数f=x+lgx．利用函数单调性的定义证明函数f在上是单调增函数；证明方程f=3在区间上有实数解；（

题文

已知函数f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x₀是方程f（x）=3的一个实数解，且x₀∈（k，k+1），求整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+lgx₁-（x₂+lgx₂）=(x1-x2)+lgx1x2．
∵设0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，lnx1x2＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的图象在（1，10）是不间断的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．
∴函数g（x0有唯一的零点x₀∈（2，3）．
故k=2．

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+lgx．（Ⅰ）利用.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点