已知函数f=x3，g=x+x．求函数h=f-g的零点个数．并说明理由；设数列{an}满足a1=a

题文

已知函数f（x）=x³，g （x）=x+x．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）-g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ a_n}（n∈N^*）满足a₁=a（a＞0），f（a_n+1）=g（a_n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由h（x）=x3-x-x知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-2＞0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
∴h（x）至少有两个零点．
由h（x）=x(x2-1-x-12)，记g(x)=x2-1-x-12，则g′(x)=2x+12x-32，
当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，
综上所述，h（x）有且只有两个零点．
（Ⅱ）记h（x）的正零点为x₀，即x03=x0+x0，
（1）当a＜x₀时，由a₁=a，即a₁＜x₀，而a23=a1+a1＜x0+x0=x03，∴a₂＜x₀．
由此猜测a_n＜x₀．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁＜x₀，成立．
②假设当n=k时a_k＜x₀成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+ak＜x0+x0=x03，知a_k+1＜x₀．
因此当n=k+1时，a_k+1＜x₀成立．
故对任意的n∈N^*，a_n≤x₀成立．
（2）当a≥x₀时，由（Ⅰ）知，当x∈（x₀，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）h（x₀）=0，从而a₂≤a，由此猜测a_n≤a．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁≤a，成立．
②假设当n=k时a_k＜a成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+ak＜a+a＜a3，知a_k+1＜a．
因此当n=k+1时，a_k+1＜a成立．故对任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3，g（x）=x+x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点