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已知函数f=x2+alnx的图象在点P)处的切线斜率为10.求实数a的值;判断方程f=2x根的个数,证明你的结论;探

题文

已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由. 题型:未知 难度:其他题型

答案

解法一:(Ⅰ)因为f(x)=x2+alnx,所以f′(x)=2x+ax,
函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=2+a.
由2+a=10得:a=8.              …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x2+8lnx,令F(x)=f(x)-2x=x2-2x+8lnx.
因为F(1)=-1<0,F(2)=8ln2>0,所以F(x)=0在(0,+∞)至少有一个根.
又因为F′(x)=2x-2+8x≥216-2=6>0,所以F(x)在(0,+∞)上递增,
所以函数F(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程f(x)=2x有且只有一
个实根.                 …(7分)
(Ⅲ)证明如下:
由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+8x,可求得曲线y=f(x)在点A处的切
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+8t)(x-t),
即y=(2t+8t)x-t2+8lnt-8(x>0).            …(8分)
记h(x)=x2+8lnx-[(2t+8t)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+8t)x+t2-8lnt+8(x>0),
则h′(x)=2x+8x-(2t+8t)=2(x-t)(x-4t)x.      …(11分)
(1)当t=4t,即t=2时,h′(x)=2(x-2)2x≥0对一切x∈(0.+∞)成立,
所以h(x)在(0,+∞)上递增.
又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时h(x)<0,当x∈(2,+∞)时h(x)>0,
即存在点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧.           …(12分)
(2)当t>4t,即t>2时,x∈(0,4t)时,h'(x)>0;x∈(4t,t)时,h'(x)<0;x∈(t,+∞)时,h'(x)>0.
故h(x)在(4t,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增.
又h(t)=0,所以当x∈(4t,t)时,h(x)>0;当x∈(t,+∞)时,h(x)>0,
即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧.                           …(13分)
(3)当t<4t,即0<t<2时,x∈(0,t)时,h'(x)>0;x∈(t,4t)时,h'(x)<0;x∈(4t,+∞)时,h'(x)>0.
故h(x)在(0,t)上单调递增,在(t,4t)上单调递减.
又h(t)=0,所以当x∈(0,t)时,h(x)<0;当x∈(t,4t)时,h(x)<0,
即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.
综上,存在唯一点A(2,4+8ln2)使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧.                    …(14分)
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)证明如下:
由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+8x,可求得曲线y=f(x)在点A处的切
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+8t)(x-t),
即y=(2t+8t)x-t2+8lnt-8(x>0).           …(8分)
记h(x)=x2+8lnx-[(2t+8t)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+8t)x+t2-8lnt+8(x>0),
则h′(x)=2x+8x-(2t+8t)=2(x-t)(x-4t)x.   …(11分)
若存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点,
由二次函数的性质知,当且仅当t=4t,即t=2时,t不是极值点,即h'(x)≥0.
所以h(x)在(0,+∞)上递增.
又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时,h(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h(x)>0,
即存在唯一点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧.                …(14分)

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解析

ax

考点

据考高分专家说,试题“已知函数f(x)=x2+alnx的图象在.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义

一般地,如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=o,则a叫做这个函数的零点,有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质:

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的,则有:
(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,

方程的根与函数的零点的联系

方程f(x)=0有实根
已知函数f=x2+alnx的图象在点P)处的切线斜率为10.求实数a的值;判断方程f=2x根的个数,证明你的结论;探
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
已知函数f=x2+alnx的图象在点P)处的切线斜率为10.求实数a的值;判断方程f=2x根的个数,证明你的结论;探
函数y=f(x)有零点

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