定义在R上的奇函数f满足f=f且x∈[0，l]时，f=2x4x+1．求函数f在[-l，l]上的解析式；当λ为何值

题文

定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=2x4x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∵x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．
∴f（-x）=2-x4-x+1=2x4x+1
又f（x）为奇函数，
∴当-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）=-2x4x+1
当x=0时，由f（-0）=-f（0）可得f（0）=0
又∵f（1-x）=f（x），
故f（1）=f（0）=0
f（-1）=-f（1）=0
综上，f（x）=2x4x+1，(0＜x＜1)0，(x∈{-1，0，1})-2x4x+1，(-1＜x＜0)
（2）∵f（1-x）=f（x），f（-x）=-f（x），
∴f（1+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），
∴f（x）周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解的λ的范围
即为求函数f（x）在[-2，2]上的值域 
即为求函数f（x）在[-1，1]上的值域
当x∈（0，1）时f（x）=2x4x+1，
故f′（x）=(1-4x)•2x(4x+1)2ln2＜0
即f（x）在（0，1）上为减函数，
∴x∈（0，1）时，25=f（2）＜f（x）＜f（0）＜12，
∴当x∈（0，1）时，f（x）∈（12，25）
当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-25，-12）  
当x∈{-1，0，1}时，f（x）=0               
∴f（x）的值域为（-25，-12）∪{0}∪（12，25）   
∴λ（-25，-12）∪{0}∪（12，25）时方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解

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解析

2x4x+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点