已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx．若函数f有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=92，x1x3=-12，求函数y=

题文

已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx．（a≠0）
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=92，x₁x₃=-12，求函数 y=f（x）的单调区间；
（2）若f′(1)=-12a，3a＞2c＞2b，试问：导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．
（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f′（x）的两个零点之间的距离不小于3，求ba的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）因为f(x)=x(13ax2+12bx+c)，又x1+x2+x3=92，x₁x₃=-12，
所以x2=0，x1+x3=92，x1•x3=-12，
因为x₁，x₃是方程13ax2+12bx+c=0的两根，
所以-3b2a=92，3ca=-12，即b=-3a，c=-4a，
从而：f(x)=13ax3-32ax2-4ax，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
当a＞0时，y=f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
当a＜0时，y=f（x）的单调递增区间是（-1，4），单调递减区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-12a，
所以a+b+c=-12a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-a2＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-a2＜0，
则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为f′(1)=-a2＜0，f′(2)=a-c＞0，
则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-ba，mn=ca=-32-ba．
所以|m-n|=(m+n)2-4mn=(-ba)2-4(-32-ba)=(ba+2)2+2．
由已知，(ba+2)2+2≥3，则(ba+2)2+2≥3，即(ba+2)2≥1．
所以ba+2≥1或ba+2≤-1，即ba≥-1或ba≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-34a．
因为a＞0，所以-3＜ba＜-34．
综上所述，ba的取值范围是[-1，-34)．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13ax3+12bx2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点