设函数f=-x3-2mx2-m2x+1-m的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．求函数f的极值与零点；设g

题文

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=1-xkx+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，
由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x2=13，
列表如下：
x(-∞，13)13(13，1)1（1，+∞）f'（x）-0+0-f（x）↘极小值5027↗极大值2↘所以f(x)极小值=f(13)=5027，f（x）_极大值=f（1）=2，
因为f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函数f（x）的零点是x=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，f(x)min=5027，
“对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
即当x∈（0，1]时，g(x)min＜5027”，
因为g′(x)=-1kx2+1x=x-1kx2，
①当k＜0时，因为x∈（0，1]，
所以g(x)=1-xkx+lnx≤0＜5027，符合题意；
②当0＜k≤1时，1k≥1，
所以x∈（0，1]时，g'（x）≤0，g（x）单调递减，
所以g(x)min=g(1)=0＜5027，符合题意；
③当k＞1时，0＜1k＜1，
所以x∈(0，1k)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈(1k，1)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x∈（0，1]时，g(x)min=g(1k)=1-1k+ln1k，
令φ(x)=lnx-x-2327（0＜x＜1），则φ′(x)=1x-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，
所以x∈（0，1）时，φ(x)＜φ(1)=-5027＜0，即lnx-x＜2327，
所以g(x)min=g(1k)=1-1k+ln1k＜1+2327=5027，符合题意，
综上所述，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点