设函数f=13x3-ax，g=bx2+2b-1．若曲线y=f与曲线y=g在它们的交点处具有公共切线，求a，b的

题文

设函数f（x）=13x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（I）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（II）当a=1-2b时，若函数f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1-2b=1时，求函数f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f'（x）=x²-a，g'（x）=2bx．
因为曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1），即13-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=13，b=13．
（II）记h（x）=f（x）+g（x），
当a=1-2b时，h(x)=13x3+1-a2x2-ax-a，h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令h'（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）h'（x）+0-0+h（x）↗极大值↘极小值↗所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a），
故h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当h(-2)＜0h(-1)＞0h(0)＜0，解得0＜a＜13，
所以a的取值范围是(0，13)．
（III）记h（x）=f（x）+g（x），当a=1-2b=1时，h(x)=13x3-x-1．
由（II）可知，函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）．
①当t+3＜-1时，即t＜-4时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=13(t+3)3-(t+3)-1=13t3+3t2+8t+5；
②当t＜-1且-1≤t+3＜1，即-4≤t＜-2时，h（x）在区间[t，-1）上单调递增，在区间[-1，t+3]上单调递减，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(-1)=-13；
当t＜-1且t+3≥1，即-2≤t＜-1时，t+3＜2且h（2）=h（-1）=-13，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(-1)=-13；
③当-1≤t＜1时，t+3≥2＞1，h（x）在区间[t，1）上单调递减，在区间[1，t+3]上单调递增，
而最大值为h（t）与h（t+3）中的较大者．
由h（t+3）-h（t）=3（t+1）（t+2）知，当-1≤t＜1时，h（t+3）≥h（t），
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=13t3+3t2+8t+5；
④当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=13t3+3t2+8t+5．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=13x3-ax（a＞0）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点