已知函数f=-x3+ax2+b若函数f在上是增函数，求实数a的取值范围；设x1，x2，x3为方程f=0的三

题文

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设x₁，x₂，x₃为方程f（x）=0的三个根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：|a|＞1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，得f′（x）=-3x²+2ax 
令f′（x）=0，解得x=0或x=23a
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得23a＜x＜0，
∴f（x）在（23a，0）上是增函数，与题意不符，舍去      
当a=0时，由f′（x）=-3x²≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数与题意不符，舍去   
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜23a
∴f（x）在（0，23a）上是增函数，
又∵f（x）在（0，2）上是增函数，
所以23a≥2，解得a≥3   
综上，a的取值范围为[3，+∞）         
另要使f（x）在（0，2）上是增函数，只需f′（x）在（0，2）上恒大于或等于零
∵f′（x）=）=-3x²+2ax 的图象是开口向下的抛物线，且过定点（0，0）
∴只需f′(0)≥0f′(2)≥0，即0≥0-3×4+4a≥0
a≥3，即a的取值范围为[3，+∞）      
（2）因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，
由题意得在区间（-1，0）内仅有一根，
∴f（-1）f（0）=b（1+a+b）＜0，①
由题意得在区间（0，1）内仅有一根，
∴f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0      ②
当b=0时，∵f（0）=0，
∴f（x）=0有一根0，这与题意不符，
∴b≠0
当b＞0时，由①得1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由②得-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＜-b-1＜-1，
即a＜-1    
当b＜0时，由①得1+a+b＞0，即a＞-b-1，
由②得-1+a+b＞0，即a＞-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＞-b+1＞1，
即a＞1  
综上，|a|＞1

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点