已知函数f=x2-x+alnx+2a+2，其中a≤2．求函数f的单调区间；若函数f在（0，2]上有且只有一个零点，求实数

题文

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+ax=(2x-a)(x-1)a…（2分）
①当a≤0，即a2≤0时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜a2或x＞1，
函数f（x）的单调递增区间为(0，a2)，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得a2＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为(a2，1)．
③当a2=1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，
由于f(1e2)=1e4-2e2-ae2+2=(1e2-1)2-ae2+1＞0，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，
需满足f（1）=0或f(1)＜0f(2)＜0解得a=-1或a＜-2ln2．
②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；
且f(e-4)=1e8-4e4-2＜0，f(2)=2+2ln2＞0，所以f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
（ⅱ）当0＜a＜2时，函数f（x）在(a2，1)上单调递减，在（1，2]上单调递增；
又因为f（1）=a+1＞0，所以当x∈(a2，2]时，总有f（x）＞0．
因为e -2a+2a＜1＜a+2，
所以f（e -2a+2a）=e -2a+2a[e -2a+2a-（a+2）]+（alne -2a+2a+2a+2）＜0．
所以在区间（0，a2）内必有零点．又因为f（x）在（0，a2）内单调递增，
从而当0＜a≤2时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
综上所述，0＜a≤2或a＜-2ln2或a=-1时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．…（13分）

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-（a+2）x+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点