已知函数f=ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．若a=1，求曲线f在点处的切线方程；若a＜0，求f（x

题文

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（3）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=13x³+12x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=（ax²+2ax+x）e^x，
（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），
化为一般式可得4ex-y-3e=0；
（2）当a＜0时，f′（x）=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
若a=-12，f′（x）=-12x²e^x＜0，函数f（x）在R上单调递减，
若a＜-12，当x∈（-∞，-2-1a）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2-1a，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若-12＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-1a，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（0，-2-1a）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（3）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x，可得f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-13x³-12x²-m，
原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，
即y=m与y=（-x²+x-1）e^x-13x³-12x²的图象有3个不同的交点，
构造函数F（x）=（-x²+x-1）e^x-13x³-12x²，
则F′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-x²-x
=（-x²-x）e^x-x²-x=-x（x+1）（e^x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，
且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=-3e-16，在x=0处取极大值F（0）=-1，
要满足题意只需∈（-3e-16，-1）即可．
故实数m的取值范围为：（-3e-16，-1）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点