设函数f=x2-mlnx，h=x2-x+a．当m=2时，若方程f-h=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；

题文

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）-h（x）=0，等价于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-2x=x-22
∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．
又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（2）∵h（x）=x²-x+a在(0，12)单调递减；(12，+∞)单调递增
∴f（x）=x²-mlnx也应在(0，12)单调递减；(12，+∞)单调递增
∵f′(x)=2x-mx=2x2-mx，
∴当m≤0时，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且m2=12，即m=12，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点