已知函数f=1-xax+lnx．当a=1时，求f在[12，2]上的最小值；若函数f在[12，+∞）上为增函数，求正实数a

题文

已知函数f（x）=1-xax+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[12，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[12，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[1e，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=1时，f（x）=1x+lnx-1，f′(x)=1x-1x2=x-1x2，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当12＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（12）=1-ln2，f（2）=ln2-12，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)=1x-1ax2=ax-1ax2，
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为[1a，+∞)，
又函数f（x）在[12，+∞)上为增函数，所以0＜1a≤12，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[1e，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程1-x2x+lnx-m=0在区间[1e，e]内恰有两个相异的实数根，即方程1-x2x+lnx=m在区间[1e，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数g(x)=1-x2x+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[1e，e]内恰有两个交点．
考察函数g(x)=1-x2x+lnx，g′(x)=-12x2+1x=2x-12x2，则g（x）在区间[1e，12]为减函数，在[12，e]为增函数，
则有：g(e)=1-e2e+lne=1-e2e+1=1+e2e＞0，
g(12)=1-122×12+ln12=12-ln2＜0，
g（1e）=1-1e2×1e+ln1e=e-12-1=e-32＜0＜g（e），
画函数g(x)=1-x2x+lnx，x∈[1e，e]的草图，要使函数g(x)=1-x2x+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[1e，e]内恰有两个交点，
则要满足g(12)＜m≤g(1e)，
所以m的取值范围为{m|12-ln2＜m≤e-32}．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1-xax+lnx（x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点