已知函数f=x3-3ax2+x，a≠0求f的单调区间；若a=23，直线y=m与y=f的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

题文

已知函数f（x）=x³-3ax²+x，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=23，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=x³-3ax²+x，得f′（x）=3x²-6ax+1．
当△=36a²-12≤0，即-33≤a≤33时，f′（x）≥0恒成立，
函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
当a＜-33或a＞33时，
由x＜a-333a2-1，得f′（x）＞0．
由x＞a+333a2-1，得f′（x）＞0．
由a-333a2-1＜x＜a+333a2-1，得f′（x）＜0．
所以函数f（x）的增区间为(-∞，a-333a2-1)，(a+333a2-1，+∞)．
减区间为(a-333a2-1，a+333a2-1)；
（2）当a=23时，f（x）=x³-2x²+x．
f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
当x∈(-∞，13)时，f′（x）＞0．
当x∈(13，1)时，f′（x）＜0．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的极大值为f(13)=427．
f（x）的极小值为f（1）=0．
所以，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点时m的取值范围是(0，427)．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

33

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax2+x，a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点