已知函数f=3x2+a，g=2ax+1，a∈R．证明函数H=f-g恒有两个不同的零点；若函数f在上无零

题文

已知函数f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R．
（1）证明函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点；
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，请讨论函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵函数H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判别式△=4a²-12a+12=4[(x-32)2+34]＞0，
∴函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，结合f（x）在（0，2）上单调递增，
可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．
∵函数y=|g（x）|=|2ax+1|，
①故当a=0时，|g（x）|=1 在（0，2）上没有单调性．
②当a＞0时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-12a＜0，函数y=|g（x）|在（0，2）上单调递增．
③当a≤-12时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-12a∈（0，124]，函数y=|g（x）|在（0，-12a）上单调递减，在（-12a，2）上是增函数．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x2+a，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点