已知函数f=ax2+bx+c的零点为x1，x2，函数f的最小值为y0，且y0∈[x1，x2），则函数y=f）的零点

题文

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），则函数y=f（f（x））的零点个数是（ ）A．3B．4C．3或4D．2或3 题型：未知 难度：其他题型

答案

如图所示，
∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），∴△=b²-4ac＞0．
由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，∵△＞0，
∴f（x）=x₁或f（x）=x₂．
∵函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），画出直线y=x₂．y=x₁．
则直线y=x₂．与y=f（x）必有两个交点，此时f（x）=x₂．有2个实数根，即函数y=f（f（x））由两个零点．
直线y=x₁与y=f（x）可能有一个交点或无交点，此时f（x）=x₁有一个实数根x=-b2a或无实数根．
综上可知：函数y=f（f（x））的零点由2个或3个．
故选D．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点