已知定义在[1，+∞）上的函数f=

题文

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）= 题型：未知 难度：其他题型

答案

①当1≤x≤32时，f（x）=8x-8，此时，0≤f（x）≤4；当32＜x≤2时，f（x）=16-8x，此时，0≤f（x）＜4；


②当2＜x≤3时，则1＜x2≤32，此时f（x）=12(8×x2-8)=8×x22-4=2x-4，此时，0≤f（x）≤2；
当3＜x≤4时，则32＜x2≤2，此时f（x）=12(16-8×x2)=8-8×x22，此时，0≤f（x）＜2；
…，
依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）=23-n3×2n-2-2n-1(x-2n-1)=2^5-2n（x-2^n-1），
此时，0≤f（x）≤2^3-n；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．
据此可得：函数f（x）的值域为[0，4]，故A不正确；当n=1时，f(x)=12，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故B不正确；当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S=12×(2n-2n-1)×23-n=2，故C正确；xf（x）＞6⇔f(x)＞6x，由f（x）的图象可得到：当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，f(x)≤f(3•2n-2)=23-n=63•2n-2可得：f(x)≤6x，故D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点