已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数求实数a的值所组成的集合A设关于x的方程的两实数根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式对任意

题文

已知函数

(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数
（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A
（Ⅱ）设关于x的方程

的两实数根为x₁、x₂.
试问:是否存在实数m,使得不等式

对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由? 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

     2分
因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立
即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。   构造函数g(x)=x²-ax-2
∴满足题意的充要条件是：


所以所求的集合A[-1，1]            (7分)
（Ⅱ）由题意得：

得到：x²-ax-2=0         (8分)
因为△=a²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：

         (9分)
因为a∈A即a∈[-1，1]，所以

要使不等式

对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当

对任意的t∈[-1,1]恒成立           (11分)
构造函数φ（x）=m²+tm-2=mt+(m²-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是


m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为
{m| m≥2或m≤-2}为所求    （14分）

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解析

同答案

考点

据考高分专家说，试题“已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点