若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.

题文

（1）若函数f(x)=ax²-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；
（2）若函数f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，求实数a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=0或a=-

（2）a的取值范围是（-4,0）

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解析

（1）若a=0，则f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；                               2分
若a≠0，则f(x)=ax²-x-1是二次函数，
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，解得a=-

，                      4分
综上所述a=0或a=-

.                                         6分



（2）若f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，
即|4x-x²|+a=0有四个根，即|4x-x²|=-a有四个根.                    8分 
令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.
作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x²|=-a有四个根，                       
那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.                                 12分
故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.
∴a的取值范围是（-4,0）.                                         14分

考点

据考高分专家说，试题“（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点