已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2+2bx-=0在内一定有实根.

题文

已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根. 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明见解析

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

证明 若a=0时，则b≠0，
此时方程的根为x=

，满足题意.
当a≠0时，令f（x）=3ax²+2bx-（a+b）.
（1）若a(a+b)＜0,
则f（0）·f（

）=-（a+b）·(-

a)=

a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(0,

内有一实根.
（2）若a（a+b）≥0，
则f(

f（1）=(-

)（2a+b）
=-

a²-

a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(

，1）内有一实根.
综上所述，方程3ax²+2bx-(a+b)=0在（0，1）内一定有实根.

考点

据考高分专家说，试题“已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点