判断下列函数在给定区间上是否存在零点.f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］；f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］；f(x)=log2

题文

判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
（1）f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］；
（2）f(x)=x³-x-1,x∈［-1，2］；
（3）f(x)=log₂(x+2)-x,x∈［1，3］. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）存在零点（2）存在零点(3)存在零点

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解析

（1）方法一  因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，
所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x²-3x-18，x∈［1，8］存在零点.
方法二 令x²-3x-18=0,解得x=-3或6,
所以函数f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］存在零点.
（2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0,
∴f（x）=x³-x-1，x∈［-1，2］存在零点.
（3）∵f（1）=log₂（1+2）-1＞log₂2-1=0.
f(3)=log₂(3+2)-3＜log₂8-3=0.∴f（1）·f（3）＜0
故f(x)=log₂(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.

考点

据考高分专家说，试题“判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点