题文
（本题16分）已知函数
，其中e是自然数的底数，
，
（1）当
时，解不等式
；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求a的取值范围；
（3）当
时，试判断：是否存在整数k，使得方程
在
上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）存在唯一的整数
。
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解析
因为
所以
，
取根的中间；
即不等式
恒成立，分类讨论：
且
时，
数形结合：
如图：
若
，
，
若
，如图：
（4）方程
在
上有解，需判断函数在
上的单调性，数形结合。
（1）
即
，由于
，所以
所以解集为
；
（2）当
时，即不等式
恒成立，
①若
，则
，该不等式满足在
时恒成立；
②由于
，
所以
有两个零点，
若
，则需满足
即
，此时
无解；
③若
，则需满足
，即
，所以
，
综上所述，a的取值范围是
。
（3）方程即为
，设
，
由于
和
均为增函数，则
也是增函数，
又因为
，
，
所以该函数的零点在区间
上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有
一个零点，所以方程
有且仅有一个根，且在
内，所以存在唯
一的整数
。
考点
据考高分专家说，试题“（本题16分）已知函数，其中e是自然数的.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
