题文
（本小题满分12分）设函数
的导函数为
，若函数
的图像关于直线
对称，且
.
（1）求实数a、b的值
（2）若函数
恰有三个零点，求实数
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）b=-12；（2）
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解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。（1）因为
，则其对称轴为
，由已知可得
，所以a=3，同时由
可得，b=-12
（2）由（1）得：
，若函数
恰有三个零点，则必有极大值大于零，极小值小于零，得到参数m的范围。
所以
解：（1）
则其对称轴为
，由已知可得
，所以a=3
又由
可得，b=-12 ………………5分
（2）由（1）得：
所以
当
时，
，
时，
，
时，
故函数
在
和
上递增，在
上递减
所以函数
的极大值为
，极小值为
………………10分
而函数
恰有三个零点，故必有
，解得：
…………12分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数的导函数为，若.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
