已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和等于( )A．7B．8C．9D．10

题文

已知

是定义在

上的奇函数，当

时，

，则函数

在

上的所有零点之和等于(   )A．7B．8C．9D．10 题型：未知 难度：其他题型

答案

B

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解析

作出y=f(x)在y轴右侧的图像,因为








所以

的根，就是

的根，即

的交点的横坐标。
由于这两个函数都是奇函数，所以它们在第一象限的交点与第三象限的交点关于原点对称，因而其横坐标和为零，因为所以它们在区间[-6,6]上的零点的和为零，当

时，
由于

,即

,所以8为

的根,
因为

,所以无解。因而

在

上的所有零点之和等于8.

考点

据考高分专家说，试题“已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数在.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点