(12分)已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

题文

(12分)已知函数f(x)＝

 (a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)＝

，f[f(－4)]＝

.

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

本试题主要是考查了函数的 解析式的求解和运用。先分析f(x)＝

且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，进而得到a的值，得到解析式，并求解函数值。
解：∵f(x)＝

且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：
a＝

，从而f(x)＝

＝

，
∴f(－4)＝

＝4，f(4)＝

＝

，即f[f(－4)]＝

.

考点

据考高分专家说，试题“(12分)已知函数f(x)＝(a，b为常.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点