已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。

题文

已知函数

是定义在R上的偶函数，当

时，

，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。 题型：未知 难度：其他题型

答案

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解析

根据题意，由于函数

是定义在R上的偶函数，当

时，

，那么可知当满足函数在R上有且仅有4个零点则可知

有四个不同的交点，只需要考虑在y轴右侧有两个交点即可，则可知，当相切时有一个，则此时的切点的斜率为a,即

,那么当x>0时，则可值只有实数a的取值范围是

，但是端点值不能取到，故答案为

。
点评：本题考查了函数的零点与方程的关系，函数的零点就是使得函数y=f（x）的函数值为0时的实数x的值．函数的零点y=f（x）就是方程f（x）=0的实数根，从图象上看，函数的零点y=f（x）就是它的图象与x轴交点的横坐标．因此，函数的零点的研究就可转化为相应函数图象的交点的问题，数形结合的思想得到了很好的体现

考点

据考高分专家说，试题“已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点