函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和=

题文

函数

与函数

 

的图象的所有交点的横坐标之和=         题型：未知 难度：其他题型

答案

8

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解析

令z=1-x,即x=1-z；则

=

，y=2sinπx=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]
=2sinπz.因-2≤x≤4，故-4≤－x≤2，-3≤1-x≤3,即-3≤z≤3.所以y=

与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数，令f(z)=

-2sinπz,则若有z₀使得f(z)=0,则必有-z₀也使f(z)=0成立.此时x的值分别为1-x₀，1+x₀，它们的和为2；
另外由于y=

有意义，故z≠0，这样排除了交点为奇数个的情形.
现在问题转化为求f(z)=

-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的情况.不妨只看z>0一边，简单的画一下y=

与y=2sinπz的图像，显然当z=

时，

=2，2sinπz=2这是一个交点,即(1,0)并且此时y=

的切线斜率小于0，而y=2sinπz的切线斜率等于0，这样两者在 (

 ,1)上还有一个交点；显然在(2,

)，(

,3)上还各有一个交点.共有四对交点，结果是8.

考点

据考高分专家说，试题“函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点