定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为(　　)A．1B．2C．3D．4

题文

定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010^x+log₂₀₁₀x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )A．1B．2C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

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解析

因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010^x与函数y=-log₂₀₁₀x有一个交点,知2010^x+log₂₀₁₀x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根.

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f(x)满足:当x&g.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点