已知函数f(x)＝ax3－3ax＋3a－5至少有两个零点，则实数a的取值范围是A．[1,4]B．[2,5]C．[1,5]D．[-5,-1]

题文

已知函数f(x)＝ax³－3ax＋3a－5至少有两个零点，则实数a的取值范围是（   ）A．[1,4]B．[2,5]C．[1,5]D．[-5,-1] 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

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解析

∵f′(x)＝3ax²－3a=3a(x²-1)=3a(x-1)(x+1)
若a＝0，则f(x)＝－5与题意不符，∴a≠0，
令f′(x)＝0,则x=1或x=-1,即f(x)在x=1或x=-1处取得极大或极小值
∴由题意知f(－1)·f(1)＝5(a－1)(a－5)≤0，∴1≤a≤5．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝ax3－3ax＋3a－.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点