若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是A．(－2,2)B．[－2,2]C．(-1,1)D．[-1,1]

题文

若函数f(x)＝x³－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ）A．(－2,2)B．[－2,2]C．(-1,1)D．[-1,1] 题型：未知 难度：其他题型

答案

A

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解析

函数f(x)＝x³－3x＋a有3个不同的零点

方程x³－3x＋a=0有三个不同的根


a=-x³+3x

函数g(x)=a与函数F(x)=-x³+3x的图象有三个不同的交点
∵F′(x)＝-3x²+3=-3(x²-1)=-3(x-1)(x+1)
∴即F(x)在x=1处取得极大值2,在x=-1处取得极小值-2
∵直线g(x)=a与函数F(x)=-x³+3x的图象有三个不同的交点
∴a∈(－2,2)

考点

据考高分专家说，试题“若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点