题文
已知函数f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝
在(0,1]上解的个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）[2，＋∞)．（2）0
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解析
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋bln x
①当0
.
由条件得－1＋
≥0恒成立，即b≥x恒成立．
所以b≥2；
②当x≥2时，f(x)＝x－2＋bln x，
f′(x)＝1＋
.
由条件得1＋
≥0恒成立，即b≥－x恒成立．
所以b≥－2.
因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b的取值范围是[2，＋∞)．
(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－
，即
当0
时，
g(x)＝－ax＋2＋ln x－
，
g′(x)＝－a＋
＋
.
因为0
，所以
>
，
则g′(x)>－a＋
＋
＝
≥0，
即g′(x)>0，所以g(x)在
上是单调增函数；
当x>
时，g(x)＝ax－2＋ln x－
，
g′(x)＝a＋
＋
>0，
所以g(x)在
上是单调增函数．
因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．
因为g
＝ln
－
，
而a≥2，所以ln
≤0，则g
<0，
g(1)＝|a－2|－1＝a－3.
①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝
解的个数为1；
②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝
解的个数为0.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝|ax－2|＋bln .....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
