设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

题文

设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

题型：未知 难度：其他题型

答案

要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可．证明：m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+12(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-12(a2+b2-c2-d2)
=14[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=14[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=14(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因为m是非零整数，则14(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数．
由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，
所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均为非零整数．
所以m=14（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一个合数．

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数