是否存在正整数m，n，使得m=n？设k是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m=n？

题文

（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），则（m+1）²=n²+n+1，显然n＞1，于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，所以，n²+n+1不是平方数，矛盾． （5分）
（2）当k=3时，若存在正整数m，n，满足m（m+3）=n（n+1），则4m²+12m=4n²+4n，（2m+3）²=（2n+1）²+8，（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8，（m-n+1）（m+n+2）=2，而m+n+2＞2，故上式不可能成立． （10分）
当k≥4时，若k=2t（t是不小于2的整数）为偶数，取m=t²-t，n=t²-1则m（m+k）=（t²-t）（t²+t）=t⁴-t²，
n（n+1）=（t²-1）t²=t⁴-t²，因此这样的（m，n）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取
m=t2-t2，n=t2+t-22则m（m+k）=t2-t2（t2-t2+2t+1）=14（t⁴+2t³-t²-2t），n（n+1）=t2+t-22 • t2+t2=14（t⁴+2t³-t²-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．
（15分）

解析

t2-t2

考点

据考高分专家说，试题“（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数