已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对．

题文

已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x²-（8p-10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．

题型：未知 难度：其他题型

答案

根据一元二次方程根与系数的关系可得：x₁+x₂=8p-10q，
x₁•x₂=5pq，
质数都是正整数．所以5pq肯定是正整数，
有一根是正整数，x₁x₂肯定都是正整数，
可以知道有几种可能，
x₁=5 x₂=pq；x₁=5p x₂=q；x₁=5q x₂=p；x₁=1，x₂=5pq；
将x₁，x₂代入 x₁+x₂=8p-10q，
5+pq=8p-10q，（1）
p（q-8）+10（q-8）+80+5=0，
（q-8）（p+10）=-85=-5×17=-1×85，
q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），
5p+q=8p-10q，11q=3p，（2）
p=11，q=3，
5q+p=8p-10q，15q=7p，（3）
p=15，q=7（舍去），
5pq+1=8p-10q，（4）
5q（p+2）-8（p+2）+16+1=0，
（p+2）（5q-8）=-17，
p=15，q=75（舍去），p=-1，q=-95（舍去），q=95，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去），
最后p=11，q=3，
或p=7，q=3．
故存在两对质数（11，3）和（7，3）．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数