设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，z-y=2，试求积abc的所有可能的值．

题文

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x²=y，

z-

y=2，试求积abc的所有可能的值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得
（a，b，c）=（12(x+y)，12(x+z)，12(y+z)）（5分）
又y=x²，于是有：a=12(x+x2)，（1）
b=12（x+z），（2）
c=12(x2+z)，（3）
由（1）解得x=-1±

1+8a2（4）
因x是整数，得1+8a=T²，其中T是正奇数，（10分）
于是，2a=T-12•T+12又a是质数，故只能有T+12=aT-12=2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
当x=2时，y=x²=4，因而有

z-2=2，z=16，
代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）
当x=-3时，y=9，

z-3=2，
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数