若n是质数，且分数n-4n+17不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n=______或 ______．

题文

若n是质数，且分数n-4n+17不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n=______或 ______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意可设n+17=ka²…①，n-4=kb²，…②，最简分数的平方就是：
kb2ka2=（ba）²，两式相减，得k（a²-b²）=21，
k（a+b）（a-b）=1×3×7
可知，质数n必定大于4，否则n-4将小于0，所以n是奇质数，则n-4为奇数，n+17为偶数．可知a+b＞a-b，所以
①若n-4n+17是最简分数，则有
k=1，
a+b=7，
a-b=3，
解得：a=5，b=2，此时n-4=4，为偶数，不符；
或者：k=1，
a+b=21，
a-b=1，
解得：a=11，b=10，此时n-4=100，为偶数，不符；
②所以n-4n+17不是最简分数，则有
k=3，
a+b=7，
a-b=1，
解得：a=4，b=3，此时n=31，n-4=27，n+17=48，
n-4n+17=2748=916=（34）²，符合要求；
或者：k=7，
a+b=3，
a-b=1，
解得：a=2，b=1，此时n=11，n-4=7，n+17=28，
n-4n+17=728=14=（12）²，符合要求．
综上所述，n的值为31和11．
故答案为：31或11．

解析

kb2ka2

考点

据考高分专家说，试题“若n是质数，且分数n-4n+17不约分或.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数