椭圆焦点弦长公式:椭圆弦长公式

1.椭圆弦长公式

椭圆的弦长公式：d = √(1+k^2)|x1-x2|= √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]= √(1+1/k^2)|y1-y2|= √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]1、焦点在X轴时,标准方程为：b>a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长，短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c。椭圆的周长公式：椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和，L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴,椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL。椭圆的准线方程：x=±a^2/C椭圆的离心率公式：e=c/a椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c，0)与准线x=+a^2/C)的距离。

2.椭圆弦长公式推导过程

2019-05-25_020541179

3.椭圆的弦长公式一定过焦点吗？

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。设AB中点为M,则F在线段BM上。可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。M到准线的距离 = F到准线的距离。此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。二、代数方程法：设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),利用弦长公式可整理成关于m的函数式。从中求出当且仅当m=0时,椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。椭圆也可以被定义为一组点。

4.如何证明过椭圆焦点的弦中以通径长最短？

一、几何证明法：过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。设AB中点为M,若FA ≥ FB,则F在线段BM上。M到准线的距离 ≥ B到准线的距离,可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。而AB为通径时,M到准线的距离 = F到准线的距离。此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。二、代数方程法：设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在)。然后方程联立,利用弦长公式可整理成关于m的函数式。从中求出当且仅当m=0时,弦长最短。扩展资料：椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。求椭圆标准方程的两个基本方法：定义法：关键在于充分利用平面几何知识，并注意画图分析，充分挖掘问题中所隐含的几何属性，从而确定动点是否满足椭圆的定义。待定系数法：当已知动点轨迹为椭圆时可以使用待定系数法，其关键是确定椭圆焦点的位置设出椭圆方程，代入已知条件求得椭圆方程中的系数。参考资料-百度百科-椭圆

5.焦点弦公式

AB为椭圆的焦点弦，则L=2a±2ex(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,P2(x2,）双曲线：(1)焦点弦：AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),且P1P2斜率为K，）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,B(x2,AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，e是离心率。令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。时取|CD|最小值2a。定理1 （配极理论的原则），则点Q的极线也通过点P。扩展资料：焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

6.椭圆焦点弦长公式的推理证明

则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|]若F为右焦点,c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/c-e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)若F为左焦点,则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/

7.直线截圆的弦长公式

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,y1),y2)为直线与曲线的两交点,││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB,点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的拓展资料：弦长公式的延伸：公式适用于所有圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）椭圆：B(x2,AB为椭圆的焦点弦，则L=2a±2ex(2)设直线；与椭圆交于P1(x1,则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K&）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K&）双曲线：(1)焦点弦:AB为双曲线的焦点弦，M(x,