等差数列求和公式推导:自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导

1.自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导

平方和的推导利用立方公式：(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2对①式从1~n求和，得：∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6类似地，求立方和利用4次方公式：(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1例如：2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+13^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+14^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1. . . . . .(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1去掉中间步，将右边第一项移到左边得：2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+13^3 - 2^3=3*2^2+3*2+14^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1. . . . . .(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1两边分别相加(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3整理即得1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6扩展资料：常见数列求和的方法：1、公式法：等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2、错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbnqTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)3、裂项法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。参考资料来源：百度百科-数列求和

2.等比数列的求和公式和推导

原发布者:lanaeric等比数列的求和公式一、基本概念和公式等比数列的求和公式：（）（）=或=（q=1）（q=1）Array，即如果q是否等于1不确定则需要对q=1或进行Array。推导性质：则S奇-S偶=a中；如果等差数列由奇数项，则S偶-S奇=。二、例题精选：已知数列{}满足：求该数列的通项，在等比数列{}中：则公比q=，-例3，（1）等比数列{}中。则=：则n=，正项的等比数列{}的前n项和为80，其中数值最大的项为54。前2n项的和为6560：已知数列{}的前n项和=，（a是不为0的常数）。

3.等差数列这个公式是怎样推到而来的？越详细越好，谢谢！

项数为n,前 n项和为Sn,等差数列求和公式当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。Sn=a1+a2+a3+。+an①Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。+a1②①+②得。2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2Sn=n（A1+An）/2 (a1。可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值。即（A1+An）折叠编辑本段基本公式公式　Sn=(a1+an)n/2等差数列求和公式Sn=na1+n(n-1)d/2：（d为公差）Sn=An2+Bn，A=d/2，B=a1-(d/2)和为 Sn首项 a1末项 an公差项数n折叠编辑本段文字表示方法等差数列基本公式，末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)×公差和=(首项+末项)×项数÷2差;首项+项数×(项数-1)×公差÷2折叠说明末项;第一位数项数:一共有几位数和:

4.等差数列求和公式推导

平方和的推导利用立方公式：(n+1)³=3n²+3n+1 ①记Sn=1²+2²+....+n²Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2对①式从1~n求和，∑(n+1)³：-n³=3∑n²+3∑n+∑1(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6类似地;求立方和利用4次方公式，(n+1)^4-n^4=4n³：+6n²+4n+1例如;2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+13^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+14^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1. . . . . .(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1去掉中间步：2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+13^3 - 2^3=3*2^2+3*2+14^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1. . . . . .(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1两边分别相加(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3整理即得1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6扩展资料：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2等比数列求和公式:Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2、错位相减法适用题型：

5.等差数列中项求和公式是什么

等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=末项-（项数-1）*公差 和=（首项+末项）*项数÷2 末项：求一共数的总和。Sn=na(n+1)/2 n为奇数sn=n/2(A n/2+A n/2 +1) n为偶数等差数列如果有奇数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。

6.等差数列求和公式推导过程

（2+1）²……相加之后，消去重复项得，=1²+2*（1+2+3+……+n）+1*n1+2+3+……+n=[（n+1）²-n-1]/2=（n²

7.等差数列的前n项和公式 是什么？

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