已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是12，它的图象与x

试题： 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是

1

2

，它的图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），且x₁2+x₂2=13．求：
（1）此函数的解析式，并画出图象；
（2）在x轴上方的图象上是否存在着D，使S_△ABC=2S_△DBC？若存在，求出D的值；若不存在，说明理由． 二次函数与一元二次方程

答案：

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（2，4），
∴4a+2b+c=4 ①
∵顶点的横坐标是

1

2

，
-

b

2a

=

1

2

②
∵函数图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∴x₁2+x₂2=（x₁+x₂）2-2x₁x₂=

b2-2ac

a2

=13③
x₁2+x₂2=（x₁+x₂）2-2x₁x₂，
由②得：a=-b代入①得：-2b+c=4 c=2b+4，
将a=-b c=2b+4代入③得：b2+2b（2b+4）=13b2，
b=0或b=1
∵b=0不合题意，
∴b=1，a=-1，c=6
∴y=-x2+x+6；（2）设D（x，y） 则S_△ABC=

1

2

×BC×4=10，
S_△DBC=

1

2

×5|y|=

5

2

y=5，
∴y=2，
将y=2代入y=-x2+x+6，
x=

1± 17

2

∴D(

1+ 17

2

，2)或(

1- 17

2

，2)．