如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个

试题： 如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=

或x+

）。

求二次函数的解析式及二次函数的应用, 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定, 相似三角形的判定, 相似三角形的性质

答案：

解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴

，
∴

；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b，
则易得ME=2-a，OD=

，




由已知条件易得：
△MOE∽△DOF











，
即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=


=

，
所以，当

， a=b=

时，EF取得最小值

。